數學巨人哥德爾─關於邏輯的故事

認識哥德爾的偉大貢獻

人類的理性有界限嗎？我們終能確知所有我們想知道的事嗎？這些皆可謂「大哉問」，對這兩個問題，哥德爾已給我們確切的答案。機器會思考嗎？人工智慧的展望為何？數學是隨機的嗎？對於這些問題，我們亦可從哥德爾所證明的定理中有更清楚的認識。
1952年哈佛大學贈予哥德爾榮譽科學博士學位，在前一年耶魯大學贈予他榮譽文學博士學位，哥德爾的成就融合了科學與人文。當哈佛大學贈予哥德爾學位時，如此描述哥德爾的成就：「本世紀最偉大數學真理的發現者；為一般人無法理解，對哲學家和邏輯家而言是革命性的。」1952年，二十世紀剛過一半，但哈佛大學卻已宣稱哥德爾所發現的是本世紀最重要的真理。哥德爾到底發現了什麼真理，使哈佛大學敢宣稱其重要性，不僅空前亦絕後呢？這是本書的主題。
邏輯是一門歷史悠久的學問，亞理斯多德的三段論，至今已將近二千五百年了，仍在許許多多的大學中教授著。一般人對邏輯的印象和認識也僅如此，卻不知邏輯的發展和哥德爾的成就。並非哥德爾的定理對我們沒有影響，只是一般人不知道罷了。曾任美國國家科學院副院長的麥克連（S. Mac Lane）曾如此說：「哥德爾偉大且抽象的邏輯成就，有個令人驚異的成果：因分析哥德爾所描述一步步程序而得到的形式機器，經由聰穎而年輕的英國邏輯家圖靈（Alan Turing）確定了經這樣程序可得到的結果，即一般遞迴函數，並知道了什麼樣的結果是可經機器計算而得的。是因這個分析和它在馮‧諾伊曼及其他人心智上的影響，使現代計算機理論的概念與分析得以開始，直到如今我們仍可說，『何者為可計算的』它的理論描述與深入分析，皆根植於哥德爾在1931年所提出的論文的土壤中。」說的更清楚些，因為哥德爾的不完備性定理，使現今的電腦先在理論上證明可行，而至今什麼是電腦能做或不能做的，其相關的理論，仍建立在此定理上。本書的六、七兩章，對此有更深入的討論。
「沒有真理！」這似乎已成為許多人的信念，現今國內社會的亂象，似乎更證實這樣的說法。閱讀本書，你可在本書的第三章看到所謂的「自我指涉」。「沒有真理」是自我指涉的，我們要問：「沒有真理」是真理嗎？若「沒有真理」是真理，這不就是自我矛盾嗎？因此「沒有真理」不是真理，即沒有真理是錯的，換言之，「有真理」！哥德爾基本的信念即「意義」及「真理」的存在。他所證明的定理似乎給人都是負面的印象，事實並非如此。
王浩先生是中國傑出的邏輯家及哲學家，是哥德爾晚年的好友，他們常在一起討論數學基礎與哲學。猶記當年王浩先生訪台，曾和他討論到數學哲學中的形式主義，王浩先生說哥德爾認為他的不完備性定理即已證實了形式主義的錯誤，其論證簡述如下：形式主義認為數學只是形式，並無意義，而不完備性定理是說明用「形式」的方法無法完全捕捉到數學的意義，故表明數學的意義在其「形式」之外，也因此數學的意義是存在的。的確，誠如書中所言哥德爾深信「意義」的存在，而這也是不完備性定理所蘊涵的。
讀者手上的這本書是國內第一本有系統介紹哥德爾其人及其成就的書，雖然國內有許多相當暢銷的科普書，都或多或少提到哥德爾，但卻沒有任何專書來介紹，本書彌補了一些這方面的缺憾。而本書的重點在於介紹哥德爾的不完備性定理，並沒有敘述哥德爾其他的重要成就，如哥德爾的「完備性完理」（沒錯，他證明了完備性定理及不完備性定理）、選擇公理（Axiom of Choice）和連續統假設（Continuum Hypothesis）與集合公理的一致性等等。期望透過這本書的引介，使讀者將來能更深刻認識到哥德爾對人類思想的偉大貢獻。
不論是對人類理性、科學哲學或電腦發展有興趣的人，或僅是對這被稱為「二十世紀最偉大的數學真理」好奇的人，這本書對你一定會有相當程度的啟發，但需先有些預備，不要僅走馬觀花，而必須思考本書所講的。這樣當你讀完時，你對所謂的理性也必定會有更進一步的了解和認識。