訓練思考能力的數學書

序章：數學可加強我們的思考力

數學也要講究基本功

在談到算數和數學時，經常將「計算」與「思考」分開討論，這是因為分開之後比較好處理。譬如，計算上的粗心出錯與思考的錯誤是以不同形式出現的，因此對兩者如果採取相同的對策並不能解決問題。

不過，計算和思考之間還是有相當密切的關係。它們有時互補長短，有時難分難解。我們原本就不應該輕視計算。因為計算可以印證理論的正確與否，有時甚至可以預測出理論本身。此外，計算也可藉由理論而變得簡單易解。

過去，蘇聯總書記赫魯雪夫曾經在看過畢卡索的畫作後，鬧過一個笑話。他說：「這肯定是用馬尾巴沾上顏料所畫出來的。」畢卡索以自身的感性加上無數的素描累積了基礎，才能達到抽象畫的境界。而不管是學問還是藝術，縱使辛苦難熬，但一段體驗基礎性技巧的時期都是必須的。

不過，有一點我希望讀者不要誤會，亦即基礎訓練的必要性與計算能力可獲得的提昇，應該要分開思考。其實，我一直很不擅長計算與背誦，到了現在情況還是沒有改善，聽說有很多數學家也和我一樣不擅於計算與背誦。世界級的數學家岡潔大師曾說過：「數學家雖有極少數是例外，不過大部分都是屬於不會計算的。」

就因為不擅長計算，才會對能減少計算的方法感動不已；就因為不會背誦，才會因能減少背誦的方式而著迷於數學的魅力。因此，就算不擅長計算也不可削減練習的時間，只要好好打穩計算的基礎，即使計算速度不會變快，但至少可以避免「忘記計算方法」這種悲劇。

所以我要特別強調，我自己也是透過這種痛苦的計算練習，習得了各式各樣的數學感覺，並藉以提高了思考能力。

延伸數學性的思考力

沒有經過基礎指導，一下就跳入作畫階段，只能算是遊戲而已。另一方面，培養美感創作的意願也很重要。即使畫作技巧不成熟也要多做鑑賞，才能產生「好美的畫！我也希望能畫出這種畫」的感受。 

這對於一般的學習也是一樣。光是拚命強調基礎訓練而看不到前景，是不會讓人心生嚮往的。在數學的學習中，重要的是必須在基礎訓練之後，能夠以簡單明瞭的形式描繪出訓練數學感覺、提高思考力後可達到什麼樣的作用。

這是個激烈變動的時代，我們必須具備應付變化狀況的能力，那就是要有「準確觀察事物」、並且「洞察本質為何」的能力。這種能力也就是數學性的思考力。數學可從初階開始就一面進行「抽象化」，一面訓練出這種能力，培養這種能力也正是數學的職責所在。